哈尔滨工业大学

近世代数

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课程概述

《近世代数》的研究在数学里是具有基本性的,他的方法和结果渗透到那些与它相近的各个不同的数学分支中。从而近世代数学就对全部数学的发展有着显著的影响。不但如此,近世代数学在其他一些科学领域也有较直接的应用。特别是在计算机科学领域,近世代数中的某些内容不但在计算机科学中有直接应用,而且还成为这个年轻学科的理论基础之一。

计算机科学是一个年轻的学科,许多问题还处在萌芽状态。有的处在由工程实践向理论转化的过程中,这就需要一个抽象的过程。同时对于未来的计算机工作者,就需要有较好的数学训练和抽象能力。近世代数这门课就分担着这样一项重要任务。


课程特色:以公理化体系为基础,用大量实例讲解抽象的理论知识。

受众:计算机专业本科生


证书要求

60分-79分为合格证书,80分及以上为优秀证书。

预备知识

《线性代数》、《离散数学基础》

授课大纲

单元

小节

知识点

第一周

半群和幺半群(上)

1.1 若干基本概念

良序原理

 

 

数学归纳法

 

 

二元代数运算

 

 

Cayley乘法表

 

 

一元和多元代数运算

 

 

代数运算的结合律和交换律

 

 

代数系

 

 

两个代数运算间的分配律

 

 

幺元(单位元)

 

 

零元

 

1.2 半群和幺半群的概念

半群

 

 

n剩余类半群

 

 

集合上的二元关系半群

 

 

更多的例子

 

 

半群中的幺元

 

 

幺半群

 

 

幺半群的例子

 

 

有限半群成为幺半群的条件

 

 

元素的幂

 

 

逆元素

 

 

群的概念

第二周

半群和幺半群(下)

1.3 子半群、子幺半群和理想

子半群及实例

 

 

子幺半群及实例

 

 

子半群及子幺半群的交

 

 

由非空集合生成的子半群和子幺半群

 

 

循环半群和幺半群的结构

 

 

理想

 

1.4 同态和同构

半群同构

 

 

幺半群的同构

 

 

幺半群的cayley定理

 

 

有关同态的若干性质

 

 

由映射诱导出的等价关系

 

 

同余关系

 

 

自然同态

 

 

幺半群的同态基本定理

第三周

群(一)

 

 

 

2.1 群的定义和例子

群的定义

 

 

群的例子

 

 

n次对称群

 

 

阿贝尔群

群的阶

 

 

n剩余类加群

 

2.2 群的简单性质

群中逆元的存在性

 

 

群中幺元的存在性

 

 

穿脱原则

 

 

群的两个定义等价

 

 

元素的阶

 

 

群的若干性质定理

第四周

群(二)

 

2.3 子群、生成子群

子群的定义和实例

 

 

子群的判定定理

 

 

子群的交和并

 

 

群的有限非空子集成为子群的条件

 

 

群的中心

 

 

换位子

 

2.4 变换群和同构

群的同构

 

 

变换群和置换群

 

 

群的cayley同构定理

 

 

自同构

 

 

内自同构

 

 

共轭关系

 

 

类方程

第五周

群(三)

 

2.5 循环群

循环群的定义

 

 

循环群的例子

 

 

循环群的结构

 

 

同构意义下的循环群

 

 

循环群的子群

 

2.6 子群的陪集与拉格朗日定理

左陪集和右陪集

 

 

左陪集间关系的性质定理

 

 

左陪集集簇对群的划分

 

 

群对子群的指数

 

 

拉格朗日定理及应用

第六周

群(四)、环和域(上)

 

2.7 正规子群、商群和同态基本定理

 

两个子群的乘积为子群的判定条件

 

 

正规子群及判定定理

 

 

商群

 

 

换位子群

 

 

同态基本定理

 

3.1 环和域的定义与简单性质

 

 

 

交换环、有限环、多项式环

 

 

零环,模n剩余类环

 

 

 

 

 

环的若干性质

 

 

零因子

 

 

体和域

 

 

有限域

 

 

子体和子域

第七周

环和域(下)

 

3.2 无零因子环的特征数

 

环中元素对加法的阶

 

 

无零因子环中元素对加法阶的唯一性

 

 

特征数

 

 

体和域的特征

 

3.1 同态基本定理、极大理想与费尔马定理

 

同态与同构

 

 

性质定理

 

 

理想子环及判定条件

 

 

由非空集合生成的理想

 

 

主理想

 

 

极大理想

 

 

费尔马定理

第八周

格(上)

 

4.1 格的定义及简单性质

4.2 对偶原理、作为代数系的格

偏序、上界、上确界、下界、下确界

 

 

极大元、极小元

 

 

偏序格

 

 

偏序格的性质

 

 

偏序与上下确界的关系

 

 

对偶原理

 

 

代数格

 

4.3 某些特殊的格

子格

 

 

格的同态与同构

 

 

格同构的保序性

 

 

完备格,有界格,补元素

 

 

分配格

 

 

布尔代数


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参考资料

《离散数学引论》,王义和编著,哈尔滨工业大学出版社。《近世代数》,杨子胥,高等教育出版社。

授课老师
任世军

任世军

教授

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